EQUATIONS DE L'ATTRACTEUR


 

L'attracteur est constitué par la suite des valeurs que prennent l'abscisse Xn et l'ordonnée Yn d'un point Mn du plan.  Ces valeurs s'obtiennent par deux formules de récurrence, fonctions des valeurs précédentes Xn-1 et Yn-1:  

                          Xn = (Xn-1) / [ (Yn-1) - A ]

et              Yn = (Xn-1) - B.(Yn-1)

dans lesquelles A et B sont des constantes. Les valeurs initiales pour les calculs sont Xo et Yo. (Sur les graphiques sont indiquées les 4 valeurs de A, B, Xo et Yo)

Un programme calcule tous les couples (X, Y) à partir des deux valeurs initiales. Chaque couple définit un point du plan.

Les figures obtenues prennent, selon les valeurs de A, B, Xo et Yo, différents aspects.

     1) Attracteur étrange

Dans ce cas, le calcul ne converge pas et se poursuit à l'infini. L'attracteur étrange est obtenu pour les valeurs suivantes:

              A = 0,15   B = 0,15   Xo = 0,1    Yo = 0,2

Les figures suivantes (de 1 à 9) montrent l'attracteur avec des coefficients d'agrandissement de plus en plus forts (de 1 à 5 millions). La présence d'une structure quel que soit l'agrandissement est caractéristique d'un attracteur étrange et de ses propriétés fractales.

      2) Trace avec ensemble de points attractifs

Dans ce cas, le calcul converge plus ou moins rapidement vers un ou plusieurs couples (X, Y) précis. Avant de se stabiliser en ces points, le nuage graphique présente des figures très variées et surprenantes (figures 10 à 21). Le paramètre "périodicité des couleurs" permet de mettre en évidence le fait que les lignes obtenues au sein des figures ne sont pas des graphes de fonctions mathématiques classiques car les couples (X, Y) calculés successivement par les formules de récurrence définissent des points appartenant à des lignes de couleurs différentes, lignes qui, en plus, ne sont pas contiguës. Par exemple pour l'attracteur de la figure 10, les points "sautent" d'une ligne rouge à une ligne verte, puis à une ligne violette, etc jusqu'à la 17ème ligne, et le cycle recommence.